例えば、伊奈製陶株式会社がＩＮＡＸ（現在社名も変えていますが）。

同じ業界であれば、東陶機器がＴＯＴＯ（こちらも同じく現在、社名変更して商標を名前にしています）とか。
あと、会社内の分割も、いろいろと呼び名はありますね。

例えば、
東京電力→とうでん
九州電力→きゅうでん
関西電力→かんでん

でも、特に小さい会社の場合「直ぐに何をやっている会社か、わかりやすい」のも大事です。
箕輪建設とか、箕輪不動産などでも、そのもの（ちなみに実際にありますが）

社名を変えるのは難しいし手間ですが、ニックネームをつけてみるのも、お客様に覚えて頂きやすいかもしれませんね。